Giả sử rằng f , g {\displaystyle f,g} và h {\displaystyle h} là các hàm liên tục trên [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} và khả vi trên ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} . Đặt

D ( x ) = | f ( x ) g ( x ) h ( x ) f ( a ) g ( a ) h ( a ) f ( b ) g ( b ) h ( b ) | . {\displaystyle D(x)={\begin{vmatrix}f(x)&g(x)&h(x)\\f(a)&g(a)&h(a)\\f(b)&g(b)&h(b)\end{vmatrix}}.}

Khi đó tồn tại c ∈ ( a , b ) {\displaystyle c\in (a,b)} sao cho D ′ ( c ) = 0 {\displaystyle D'(c)=0} .

Để ý rằng

D ′ ( x ) = | f ′ ( x ) g ′ ( x ) h ′ ( x ) f ( a ) g ( a ) h ( a ) f ( b ) g ( b ) h ( b ) | , {\displaystyle D'(x)={\begin{vmatrix}f'(x)&g'(x)&h'(x)\\f(a)&g(a)&h(a)\\f(b)&g(b)&h(b)\end{vmatrix}},}

và nếu ta lấy h ( x ) ≡ 1 {\displaystyle h(x)\equiv 1} , ta thu được định lý giá trị trung bình Cauchy. Nếu ta thay h ( x ) ≡ 1 {\displaystyle h(x)\equiv 1} và g ( x ) ≡ x {\displaystyle g(x)\equiv x} , ta thu được định lý giá trị trung bình.

Chứng minh của tổng quát hóa này khá đơn giản: Ta có D ( a ) {\displaystyle D(a)} và D ( b ) {\displaystyle D(b)} là các định thức có hai hàng bằng nhau, do đó D ( a ) = D ( b ) = 0 {\displaystyle D(a)=D(b)=0} . Từ định lý Rolle, ta suy ra tồn tại c ∈ ( a , b ) {\displaystyle c\in (a,b)} sao cho D ′ ( c ) = 0 {\displaystyle D'(c)=0} .